Matrix positivity preservers in fixed dimension

Un résultat classique de I.J. Schoenberg caractérise les fonctions préservant la positivité lorsqu'elles sont appliquées aux entrées des matrices semi-définies positives de dimension arbitraire. Le problème analogue lorsque la dimension est fixe est beaucoup plus complexe à résoudre. Dans cette note, nous résolvons ce problème dans le cas où la fonction est un polynôme. Nous dérivons de ce résultat des inégalités exactes pour les puissances d'Hadamard d'une matrice positive et pour le problème du cube matriciel.