Exceptions and counterexamples: Understanding Abel's comment on Cauchy's Theorem

Es könnte merkwürdig aussehen, daß Abel, ein Protagonist der neuen Strenge von Cauchy, von “Ausnahmen” sprach, als er den Lehrsatz von Cauchy über die Stetigkeit der Reihen von stetigen Funktionen kritisierte. Aber kontextbezogen interpretiert werden Ausnahmen sowohl akzeptable als auch sinnvolle Objekte der Analysis des frühen 19. Jahrhunderts. Zuerst werden Abels Gebrauch des Ausdruckes “Ausnahmen” und die Rolle, die Ausnahme in seinem Binomial-Arbeit spielt, dokumentiert und analysiert. Danach wird angedeutet, wie Abel sich mit den Ausnahmen vertraut gemacht haben könnte, und es wird sein Gebrauch von Ausnahmen in einem Prozess, der “kritischen Revision”, diskutiert. Schliesslich wird eine Interpretation von Abels Ausnahme als Zeichen einer Umwandlung mathematischer Objekte vorgeschlagen. Diese Auslegung zeigt, wie die Ausnahmen ihren Platz in einem fundamentalen Wandel des frühen 19. Jahrhunderts finden, von einem formellen Zugang in Richtung auf eine begrifflichere Auffassung der Mathematik.