Brahmagupta’s propositions on the perpendiculars of cyclic quadrilaterals

We continue a recent analysis of Propositions XII.21–28 of Brahmagupta’s Brāhma-sphuṭa-siddhānta (India, 628 A.D.), on the area and diagonals of the cyclic quadrilateral, by examining Propositions XII.29–32, that explain how to determine the perpendiculars as well as all the portions of diagonals and perpendiculars. These results include the result nowadays referred to as “Brahmagupta’s theorem” (XII.30–31). Brahmagupta describes both the geometric situation and the key elements of the derivation of his results. We analyze the expression of hypotheses and derivations, using only Brahmagupta’s conceptual framework, that does not include the notion of angle, and uses proportion only in a standard form (XII.25).

RésuméOn prolonge une analyse récente des Propositions XII.21–28 du Brāhma-sphuṭa-siddhānta de Brahmagupta (Inde, 628 A.D.), sur l’aire et les diagonales du quadrilatère cyclique, par une étude des Propositions XII.29–32, qui expliquent comment déterminer les hauteurs, ainsi que toutes les portions des diagonales et des hauteurs. Ces résultats comprennent ce que l’on appelle de nos jours le “Théorème de Brahmagupta” (XII.30–31). Brahmagupta décrit la situation géométrique et par là même suggère une dérivation des résultats. On montre que cette dérivation, dans le cadre conceptuel de l’auteur—duquel la notion d’angle est absente—repose sur l’utilisation systématique de proportions dans des triangles rectangles sous une forme standardisée (XII.25), comme le texte l’indique.