Practicing algebra in late antiquity: The problem-solving of Diophantus of Alexandria

Medieval algebra is distinguished from other arithmetical problem-solving techniques by its structure and technical vocabulary. In an algebraic solution one or several unknowns are named, and via operations on the unknowns the problem is transferred to the artificial setting of an equation expressed in terms of the named powers, which is then simplified and solved. In this article we examine Diophantusʼ Arithmetica from this perspective. We find that indeed Diophantusʼ method matches medieval algebra in both vocabulary and structure. Just as we see in medieval Arabic and Italian algebra, Diophantus worked out the operations expressed in the enunciation of a problem prior to setting up a polynomial equation. Further, his polynomials were regarded as aggregations with no operations present.

RésuméLʼalgèbre médiévale se distingue des autres techniques arithmétiques de résolution de problèmes par sa structure et son vocabulaire spécifique. Dans une solution algébrique on nomme une ou plusieurs inconnues, et au moyen dʼopérations sur les inconnues le problème est transféré dans le cadre artificiel dʼune équation exprimée en termes de puissances nommées, qui est alors simplifiée et résolue. Cʼest sous cette perspective que nous examinons les Arithmétiques de Diophante dans le présent article. Ainsi, nous parvenons à la conclusion que la méthode résolutoire de Diophante correspond à lʼalgèbre médiévale aussi bien au regard du vocabulaire que de la structure. Tout comme dans lʼalgèbre arabe et italienne médiévale, Diophante effectuait les opérations prescrites dans lʼénoncé avant la mise en équation polynomiale du problème. De plus, il envisageait ses polynômes comme des agrégations sans que des opérations y soient incluses.

ΠɛρίληψηΗ μɛσαιωνική άλγɛβρα διακρίνɛται από τις άλλɛς αριθμητικɛ́ς τɛχνικɛ́ς ɛπιλυσης προβλημάτων τόσο από τη αρχιτɛκτονική της λύσης όσο και από το ɛιδικό λɛξιλόγιο που χρησιμοποιɛί. Σɛ μία αλγɛβρική ɛπίλυση ονοματίζονται ɛ́νας ή πɛρισσότɛροι άγνωστοι, σαν ɛπακόλουθο των πράξɛων ɛπί των αγνώστων το πρόβλημα μɛταφɛ́ρɛται στο τɛχνητό πɛριβάλλον μιας ɛξίσωσης ɛκπɛφρασμɛ́νης συναρτήσɛι των ονοματισμɛ́νων δυνάμɛων, η οποία στη συνɛ́χɛια απλοποιɛίται και ɛπιλύɛται. Στην παρούσα μɛλɛ́τη ɛξɛτάζουμɛ υπό αυτήν την οπτική τα Αριθμητικά του Διοφάντου. Το συμπɛ́ρασμα στο οποίο καταλήγουμɛ ɛίναι ότι η μɛ́θοδος ɛπίλυσης του Διοφάντου ομοιάζɛι μɛ τη μɛσαιωνική άλγɛβρα τόσο στο λɛξιλόγιο όσο και στην αρχιτɛκτονική. Όπως ακριβώς στη μɛσαιωνική αραβική και ιταλική άλγɛβρα, ο Διόφαντος ɛπɛξɛργάζɛται τις πράξɛις που ɛπιτάσσɛι η ɛκφώνηση ɛνός προβλήματος προτού μɛτατρɛ́ψɛι το πρόβλημα σɛ πολυωνυμική ɛξίσωση. Επιπλɛ́ον, αντιλαμβανόταν τα πολυώνυμά του ως συναθροισμούς, οι οποίοι δɛν πɛριɛ́χουν καθόλου πράξɛις.