What did Gauss read in the Appendix?

In a clear analogy with spherical geometry, Lambert states that in an “imaginary sphere” the sum of the angles of a triangle would be less than ππ. In this paper we analyze the role played by this imaginary sphere in the development of non-Euclidean geometry, and how it served Gauss as a guide. More precisely, we analyze Gauss’s reading of Bolyai’s Appendix in 1832, five years after the publication of Disquisitiones generales circa superficies curvas, on the assumption that his investigations into the foundations of geometry were aimed at finding, among the surfaces in space, Lambert’s hypothetical imaginary sphere. We also wish to show that the close relation between differential geometry and non-Euclidean geometry is already present in János Bolyai’s Appendix, that is, well before its appearance in Beltrami’s Saggio. From this point of view, one is able to answer certain natural questions about the history of non-Euclidean geometry; for instance, why Gauss decided not to write further on the subject after reading the Appendix.

ZusammenfassungIn einer deutlichen Analogie mit der Kugelgeometrie behauptet Lambert, dass in einer “imaginären Kugelfläche” die Summe der Winkel eines Dreiecks kleiner als ππ sein würde. In diesem Artikel analysieren wir die Rolle, die diese imaginäre Kugelfläche in der Entwicklung der nichteuklidischen Geometrie gespielt hat, und wie Gauss sie als Orientierungshilfe benutzte. Insbesondere analysieren wir die Lektüre, die Gauss 1832—fünf Jahren nach der Veröffentlichung der Disquisitiones generales circa superficies curvas—zu Bolyais Appendix gemacht hat, unter der Annahme, dass seine Forschung über die Grundlagen der Geometrie darauf gezielt hat, Lamberts hypothetische imaginäre Kugelfläche unter den Flächen im Raum zu finden. Wir möchten hiermit auch zeigen, dass der enge Zusammenhang zwischen der Differentialgeometrie und der nichteuklidischen Geometrie schon mit János Bolyais Appendix vorkommt, deutlich früher als Beltramis Saggio. In dieser Hinsicht können gewisse natürlich Fragen der Geschichte der nichteuklidischen Geometrie beantwortet werden; zum Beispiel: Warum entschloss sich Gauss nach der Lesung des Appendix dazu, nicht mehr über die nichteuklidische Geometrie zu schreiben?