The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology

General topology has its roots in real and complex analysis, which made important uses of the interrelated concepts of open set, of closed set, and of a limit point of a set. This article examines how those three concepts emerged and evolved during the late 19th and early 20th centuries, thanks especially to Weierstrass, Cantor, and Lebesgue. Particular attention is paid to the different forms of the Bolzano–Weierstrass Theorem found in the latter's unpublished lectures. An abortive early, unpublished introduction of open sets by Dedekind is examined, as well as how Peano and Jordan almost introduced that concept. At the same time we study the interplay of those three concepts (together with those of the closure of a set and of the derived set of a set) in the struggle to determine the ultimate foundations on which general topology was built, during the first half of the 20th century.

ZusammenfassungDie Topologie hat ihre Wurzeln in reeller und komplexer Analysis, Bereiche, in denen wichtiger Gebrauch der miteinander verbundenen Begriffe “offene Menge”, “abgeschlossene Menge”, “Häufungspunkt einer Menge” gemacht wurde. Dieser Artikel untersucht, wie diese drei Begriffe im auslaufenden 19. und im beginnenden 20. Jahrhundert entstanden und sich entwickelten, insbesondere dank der Arbeiten von Weierstrass, Cantor und Lebesgue. Spezielle Aufmerksamkeit wird dabei den verschiedenen Fassungen des Satzes von Bolzano–Weierstrass gewidmet, die sich in den unveröffentlichten Vorlesungen von Weierstrass finden. Eine frühe, nicht weiter verfolgte und unveröffentlichte Einführung offener Mengen durch Dedekind wird untersucht und auch die Versuche von Peano und Jordan. Gleichzeitig untersuchen wir das Zusammenspiel der drei Begriffe (und auch die des Abschlusses einer Menge und der Ableitung einer Menge) in dem Bemühen während der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts, die bestmöglichen Fundamente zu finden, auf denen die allgemeine Topologie aufbaut.