The evolution of the concept of homeomorphism

Topology, or analysis situs, has often been regarded as the study of those properties of point sets (in Euclidean space or in abstract spaces) that are invariant under “homeomorphisms.” Besides the modern concept of homeomorphism, at least three other concepts were used in this context during the late 19th and early 20th centuries, and regarded (by various mathematicians) as characterizing topology: deformations, diffeomorphisms, and continuous bijections. Poincaré, in particular, characterized analysis situs in terms of deformations in 1892 but in terms of diffeomorphisms in 1895. Eventually Kuratowski showed in 1921 that in the plane there can be a continuous bijection of P onto Q, and of Q onto P, without P and Q being homeomorphic.

ZusammenfassungTopologie—oder Analysis Situs—wurde oft als Studium solcher Eigenschaften von Punktmengen (im Euklidischen Raum oder in abstrakten Räumen) angesehen, die invariant unter Homöomorphismen sind. Außer dem modernen Konzept des Homöomorphismus wurden während des späten 19. und frühen 20. Jahrhunderts noch mindestens drei Konzepte benutzt und (von mehreren Mathematikern) als charakteristisch für die Topologie angesehen: Deformationen, Diffeomorphismen, und stetige Bijektionen. Poincaré insbesondere charakterisierte Analysis Situs durch Deformationen in 1892 aber dann durch Diffeomorphismen in 1895. Schließlich zeigte Kuratowski in 1921 dass es in der Ebene stetige Bijektionen von P auf Q und von Q auf P geben kann, ohne dass P und Q homöomorph sind.