Beyond Cartesian limits: Leibniz's passage from algebraic to “transcendental” mathematics

This article deals with Leibniz's reception of Descartes' “geometry.” Leibnizian mathematics was based on five fundamental notions: calculus, characteristic, art of invention, method, and freedom. On the basis of methodological considerations Leibniz criticized Descartes' restriction of geometry to objects that could be given in terms of algebraic (i.e., finite) equations: “Descartes's mind was the limit of science.” The failure of algebra to solve equations of higher degree led Leibniz to develop linear algebra, and the failure of algebra to deal with transcendental problems led him to conceive of a science of the infinite. Hence Leibniz reconstructed the mathematical corpus, created new (transcendental) notions, and redefined known notions (equality, exactness, construction), thus establishing “a veritable complement of algebra for the transcendentals”: infinite equations, i.e., infinite series, became inestimable tools of mathematical research.

ZusammenfassungDer Aufsatz behandelt Leibniz' Aufnahme von Descartes' ,,Geometrie“. Die Leibnizsche Mathematik war auf fünf grundlegenden Begriffen aufgebaut: Kalkül, Charakteristik, Erfindungskunst, Methode, Freiheit. Leibniz' methodologische Betrachtungen zogen seine Kritik der cartesischen algebraischen Methoden nach sich, die das Gebiet der Geometrie definierten: ,,Descartes' Geist war die Grenze der Wissenschaft“. Die Unvollkommenheit der Algebra (Lösung algebraischer Gleichungen höheren Grades) ließ Leibniz lineare Algebra entwickeln und eine Wissenschaft des Unendlichen entwerfen. Leibniz baute also das Gebäude der Mathematik neu auf, schuf neue Begriffe (transzendent) und definierte bekannte Begriffe neu (Gleichheit, Genauigkeit, Konstruktion). Auf diese Weise begründete er eine ,,wahre Ergänzung der Algebra für transzendente Größen“: unendliche Gleichungen, das heißt unendliche Reihen, wurden unschätzbare Hilfsmittel der mathematischen Forschung.