Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany

Remainder problems have a long tradition and were widely disseminated in books on calculation, algebra, and recreational mathematics from the 13th century until the 18th century. Many singular solution methods for particular cases were known, but Bachet de Méziriac was the first to see how these methods connected with the Euclidean algorithm and with Diophantine analysis (1624). His general solution method contributed to the theory of equations in France, but went largely unnoticed elsewhere. Later Euler independently rediscovered similar methods, while von Clausberg generalized and systematized methods that used the greatest common divisor procedure. These were followed by Euler's and Lagrange's continued fraction solution methods and Hindenburg's combinatorial solution. Shortly afterwards, Gauss, in the Disquisitiones Arithmeticae, proposed a new formalism based on his method of congruences and created the modular arithmetic framework in which these problems are posed today.

ZusammenfassungRestprobleme stehen in einer langen Tradition, sie sind in Rechenbüchern, Algebrabüchern und in der Unterhaltungsmathematik des 13. bis zum 18. Jh. weit verbreitet. Viele Sonderlösungen waren bekannt, aber erst C.G. Bachet de Méziriac bemerkte, dass die Probleme in Verbindung mit dem Euklidischen Teilalgorithmus und mit der Diophantischen Analysis stehen (1624). Bachets allgemeine Lösung hat in Frankreich zur Theorie der Gleichungen beigetragen, aber wurde in deutschsprachigen Gebieten nicht wahrgenommen. Am Anfang des 18. Jhs. entdeckte Leonhard Euler Bachets Lösung erneut, und Clausberg sammelte, generalisierte und systematisierte viele Probleme, deren Lösungsmethoden den euklidischen Algorithmus benutzen. Es folgten noch Eulers und Lagranges Kettenbruchmethode, sowie Hindenburgs kombinatorische Lösung. Doch, nur wenig später, präsentierte Gauss, in seinen Disquisitiones Arithmeticae, einen neuen Formalismus, der auf seinen Kongruenzen gegründet war, and schöpfte den Rahmen, in dem diese Probleme heutzutage behandelt werden, Restarithmetik.