Normalized solutions for a system of coupled cubic Schrödinger equations on R3R3

We consider the system of coupled elliptic equations{−Δu−λ1u=μ1u3+βuv2−Δv−λ2v=μ2v3+βu2vin R3, and study the existence of positive solutions satisfying the additional condition∫R3u2=a12and∫R3v2=a22. Assuming that a1,a2,μ1,μ2a1,a2,μ1,μ2 are positive fixed quantities, we prove existence results for different ranges of the coupling parameter β>0β>0. The extension to systems with an arbitrary number of components is discussed, as well as the orbital stability of the corresponding standing waves for the related Schrödinger systems.

RésuméOn considère le système d'équations elliptiques couplées{−Δu−λ1u=μ1u3+βuv2−Δv−λ2v=μ2v3+βu2vsur R3, et on étudie l'existence de solutions positives qui satisfont la condition additionnelle∫R3u2=a12et∫R3v2=a22. En suppposant que a1,a2,μ1,μ2a1,a2,μ1,μ2 sont des quantités positives fixées, on obtient des résultats d'existence pour plusieurs plages du paramètre de couplage β>0β>0. L'extension de ces résulats à des systèmes ayant un nombre quelconque d'équations est discutée, tout comme la stabilité orbitale des ondes stationnaires correspondantes dans les systèmes de Schrödinger associés.