Nonnegative solutions of semilinear elliptic equations in half-spaces

We consider the semilinear elliptic problemequation(0.1){−Δu=f(u)in R+Nu=0on ∂R+N where the nonlinearity f   is assumed to be C1C1 and globally Lipschitz with f(0)<0f(0)<0, and R+N={x∈RN:xN>0} stands for the half-space. Denoting by u0u0 the unique solution of the one-dimensional problem −u″=f(u)−u″=f(u) with u(0)=u′(0)=0u(0)=u′(0)=0, we show that nonnegative solutions u of (0.1) which verify u(x)≥u0(xN)u(x)≥u0(xN) in R+N either are positive and monotone in the xNxN direction or coincide with u0u0. As a particular instance, when f(t)=t−1f(t)=t−1, we prove that the unique nonnegative (not necessarily bounded) solution of (0.1) is u(x)=1−cos⁡xNu(x)=1−cos⁡xN. This solves in a strengthened form a conjecture posed by Berestycki, Caffarelli and Nirenberg in 1997.

RésuméOn considère le problème elliptique semilinéaireequation(0.1){−Δu=f(u)dansR+Nu=0sur∂R+N où la non-linéarité f   est supposée être C1C1 et globalement lipschitzienne avec f(0)<0f(0)<0 et R+N={x∈RN:xN>0} est le demi-espace. On note u0u0 l'unique solution du problème unidimensionel −u″=f(u)−u″=f(u) avec u(0)=u′(0)=0u(0)=u′(0)=0, on montre que les solutions nonnégatives u du problème (0.1) qui vérifient u(x)≥u0(xN)u(x)≥u0(xN) dans R+N sont ou positives et monotones dans la direction xNxN ou coincident avec u0u0. Comme cas particulier pour f(t)=t−1f(t)=t−1, on démontre que l'unique solution de (0.1) nonnégative (non nécessairement bornée) est u(x)=1−cos⁡xNu(x)=1−cos⁡xN. Ce qui résout sous une forme plus forte une conjecture émise par Berestycki, Caffarelli et Nirenberg en 1997.