Generalized Harnack inequality for semilinear elliptic equations

This paper is concerned with semilinear equations in divergence formdiv(A(x)Du)=f(u),div(A(x)Du)=f(u), where f:R→[0,∞)f:R→[0,∞) is nondecreasing. We introduce a sharp Harnack type inequality for nonnegative solutions which is a quantified version of the condition for strong maximum principle found by Vazquez and Pucci–Serrin in [30] and [24] and is closely related to the classical Keller–Osserman condition [15] and [22] for the existence of entire solutions.

RésuméDans cet article on s'intéresse à des équations semilinéaires sous forme divergence du type :div(A(x)Du)=f(u),div(A(x)Du)=f(u), où f:R↦[0,∞)f:R↦[0,∞) est une fonction croissante. On démontre une inégalité optimale de type Harnack pour les solutions positives. Cette inégalité représente une version << quantifiée >> de la condition établie par Vazquez et Pucci–Serrin dans [30] and [24] pour la validité du principe du maximum fort et elle est étroitement liée à la condition de Keller–Osserman [15] and [22] pour l'existence de solutions entières.