Variational principle for weighted topological pressure

Let (X,T)(X,T) and (Y,S)(Y,S) be two topological dynamical systems, and π:X→Yπ:X→Y a factor map. Let a=(a1,a2)∈R2a=(a1,a2)∈R2 with a1>0a1>0 and a2≥0a2≥0, and f∈C(X)f∈C(X). We define the a-weighted topological pressure of f  , denoted by Pa(X,f)Pa(X,f), as an extension of the classical topological pressure. In this approach, we use the a-weighted Bowen balls to substitute the Bowen balls in the classical definition. We prove the following variational principle:Pa(X,f)=sup⁡{a1hμ(T)+a2hμ∘π−1(S)+∫fdμ}, where the supremum is taken over the T-invariant measures on X  . It not only generalizes the variational principle of classical topological pressure, but also provides a topological extension of dimension theory of invariant sets and measures on the torus T2T2 under affine diagonal endomorphisms. A higher dimensional version of the result is also established.

RésuméSoient (X,T)(X,T), (Y,S)(Y,S) deux systèmes dynamiques topologiques, et π:X→Yπ:X→Y une application surjective continue telle que π∘T=S∘ππ∘T=S∘π. Soient a=(a1,a2)∈R2a=(a1,a2)∈R2 avec a1>0a1>0 et a2≥0a2≥0, et f∈C(X)f∈C(X). On définit la pression topologique a-pondérée de f  , notée Pa(X,f)Pa(X,f), comme extension de la pression topologique classique. Dans cette approche, on substitue des boules de Bowen a-pondérées aux boules de Bowen de la définition classique. On établit le principe variationnel suivant :Pa(X,f)=sup⁡{a1hμ(T)+a2hμ∘π−1(S)+∫fdμ}, où le suprémum porte sur l'ensemble des mesures T-invariantes sur X  . Non seulement ce résultat généralise le principe variationnel associé à la pression topologique classique, mais il fournit aussi une extention topologique de la théorie de la dimension des ensembles et des mesures invariantes sur le tore T2T2 sous l'action des endomorphismes diagonaux affines. Le résultat s'étend en dimension supérieure.