New long time existence results for a class of Boussinesq-type systems

In this paper we deal with the long time existence issue for the Cauchy problem associated to some asymptotic models for long wave, small amplitude gravity surface water waves. We generalize some of the results that can be found in the literature devoted to the study of Boussinesq systems by implementing an energy method on spectrally localized equations. In particular, we obtain better results in terms of the regularity level required to solve the initial value problem on large time scales and we do not make use of the positive depth assumption.

RésuméDans cet article, on traite la question d'existence en temps long pour le problème de Cauchy associé à une famille de modèles asymptotiques de propagation d'ondes hydrodynamiques de petite amplitude et de grande longueur d'onde. On généralise certains des résultats qui peuvent être trouvés dans la littérature consacrée aux systèmes de type Boussinesq, en mettant en oeuvre une méthode d'énergie sur ces équations spectralement localisées. On obtient ainsi de meilleurs résultats au niveau de la régularité exigée pour résoudre le problème de Cauchy en temps long et on ne fait pas d'hypothèse de profondeur positive.