An isoperimetric inequality for Gauss-like product measures

This paper deals with various questions related to the isoperimetric problem for a smooth positive measure dμ=φ(x)dxdμ=φ(x)dx, with x∈Ω⊂RNx∈Ω⊂RN. Firstly we find some necessary conditions on the density of the measure φ(x)φ(x) that render the intersection of half spaces with Ω a minimum in the isoperimetric problem. We then identify the unique isoperimetric set for a wide class of factorized finite measures. These results are finally used in order to get sharp inequalities in weighted Sobolev spaces and a comparison result for solutions to boundary value problems for degenerate elliptic equations.

RésuméCet article traite diverses questions liées au probléme isopérimétrique pour une mesure positive régulière dμ=φ(x)dxdμ=φ(x)dx, avec x∈Ω⊂RNx∈Ω⊂RN. Tout d'abord, on donne quelques conditions nécessaires sur la densité de la mesure φ(x)φ(x) qui rendent l'intersection des demi-espaces avec Ω ensemble minimale pour le probléme isopérimérique. On identifie ensuite l'ensemble isopérimérique unique pour une grande classe de mesures finies factorisées. Ces résultats sont finalement utilisés pour obtenir des inégalités fines dans les espaces de Sobolev pondérés et un résultat de comparaison pour les solutions de problèmes de Dirichlet pour les équations elliptiques dégénérées.