Lp–Lq–LrLp–Lq–Lr estimates and minimal decay regularity for compressible Euler–Maxwell equations

Due to the dissipative structure of regularity-loss, extra higher regularity than that for the global-in-time existence is usually imposed to obtain the optimal decay rates of classical solutions to dissipative systems. The aim of this paper is to seek the lowest regularity index for the optimal decay rate of L1(Rn)–L2(Rn)L1(Rn)–L2(Rn). Consequently, a notion of minimal decay regularity for dissipative systems of regularity-loss is firstly proposed. To do this, we develop a new time-decay estimate of Lp(Rn)–Lq(Rn)–Lr(Rn)Lp(Rn)–Lq(Rn)–Lr(Rn) type by using the low-frequency and high-frequency analysis in Fourier spaces. As an application, for compressible Euler–Maxwell equations with the weaker dissipative mechanism, it is shown that the minimal decay regularity coincides with the critical regularity for global classical solutions. Moreover, the recent decay property for symmetric hyperbolic systems with non-symmetric dissipation is also extended to be the LpLp-version.

RésuméLa structure dissipative avec perte de régularité impose en général plus de régularité que celle utilisée pour obtenir l'existence globale avec des taux de décroissance optimaux pour les solutions régulières. Le but de cet article est d'établir la régularité minimale afin d'avoir un taux de décroissance optimal dans L1(Rn)–L2(Rn)L1(Rn)–L2(Rn). Par conséquent, une notion de régularité de décroissance minimale est tout d'abord proposée pour les systèmes dissipatifs avec perte de régularité. Pour ce faire, on développe une nouvelle estimation dissipative en temps de type Lp(Rn)–Lq(Rn)–Lr(Rn)Lp(Rn)–Lq(Rn)–Lr(Rn) en utilisant l'analyse en basse fréquence et en haute fréquence dans des espaces de Fourier. En application, aux équations d'Euler–Maxwell compressibles avec un mécanisme de dissipation plus faible, on démontre que la régularité de décroissance minimale coïncide avec la régularité critique pour des solutions classiques globales. De plus, la propriété récente de décroissance pour des systèmes hyperboliques symétriques avec dissipation non symétrique est également étendue à la version LpLp.