Existence of strong solutions to the steady Navier–Stokes equations for a compressible heat-conductive fluid with large forces

We prove that there exists a strong solution to the Dirichlet boundary value problem for the steady Navier–Stokes equations of a compressible heat-conductive fluid with large external forces in a bounded domain Ω⊂RdΩ⊂Rd (d=2,3d=2,3), provided that the Mach number is appropriately small. At the same time, the low Mach number limit is rigorously verified. The basic idea in the proof is to split the equations into two parts, one of which is similar to the steady incompressible Navier–Stokes equations with large forces, while another part corresponds to the steady compressible heat-conductive Navier–Stokes equations with small forces. The existence is then established by dealing with these two parts separately, establishing uniform in the Mach number a priori estimates and exploiting the known results on the steady incompressible Navier–Stokes equations.

RésuméDans cet article on établit l'existence d'une solution forte du système de Navier–Stokes stationnaire pour un fluide compressible conducteur de la chaleur, dans un domaine borné Ω⊂RdΩ⊂Rd(d=2,3)(d=2,3), lorsque la force extérieure est grande, pour des conditions au bord de Dirichlet et dans les cas de nombres de Mach assez petits ; on vérifie aussi la limite du nombre de Mach. L'idée de la démonstration repose sur le partage des équations en deux parties, l'une est analogue au système de Navier–Stokes stationnaire incompressible avec une force extérieure assez grande, l'autre à un sysème de Navier–Stokes stationnaire pour un fluide compressible, conducteur de la chaleur, avec une force extérieure assez petite. L'existence est alors établie en traitant séparément les deux parties et en établissant des estimations a priori par rapport au nombre de Mach, on utilise ensuite des résultats connus pour le système de Navier–Stokes stationnaire incompressible.