Cones over metric measure spaces and the maximal diameter theorem

The main result of this article states that the (K,N)(K,N)-cone over some metric measure space satisfies the reduced Riemannian curvature-dimension condition RCD⁎(KN,N+1)RCD⁎(KN,N+1) if and only if the underlying space satisfies RCD⁎(N−1,N)RCD⁎(N−1,N). The proof uses a characterization of reduced Riemannian curvature-dimension bounds by Bochner's inequality that was established for general metric measure spaces by Erbar, Kuwada and Sturm in [21] (independently, the same result has been announced by Ambrosio, Mondino and Savaré). As a corollary of our result and the Gigli–Cheeger–Gromoll splitting theorem [25] we obtain a maximal diameter theorem in the context of metric measure spaces that satisfy the condition RCD⁎RCD⁎.

RésuméLe résultat central de l'article démontre que le (K,N)(K,N)-cone relatif à un espace métrique mesuré a la condition du type coubure-dimension riemannienne reduite RCD⁎(KN,N+1)RCD⁎(KN,N+1) si et seulement si l'espace en question satisfait la condition du type RCD⁎(N−1,N)RCD⁎(N−1,N). La démonstration utilise la charactérisation de la condition coubure-dimension riemannienne réduite par l'inégalité de Bochner qui était établie pour l'espace de métrique mesuré général de Erbar, Kuwada et Sturm. Un corollaire de ce résultat et du théorème de la factorisation de Gigli, Cheeger et Gromoll est le théorème du diamètre maximal pour des espaces métriques mesurés généraux.