2-Dimensional Lie algebras and separatrices for vector fields on (C3,0)(C3,0)

We show that holomorphic vector fields on (C3,0)(C3,0) have separatrices provided that they are embedded in a rank 2 representation of a two-dimensional Lie algebra. As an application of this result we show, in particular, that the second jet of a holomorphic vector field defined on a compact complex manifold M of dimension 3 cannot vanish at an isolated singular point provided that M carries more than a single holomorphic vector field.

RésuméOn démontre que les champs de vecteurs holomorphes définis au voisinage de l'origine de C3C3 admettent des séparatrices dès qu'ils se plongent dans une représentation de rang 2 d'une algèbre de Lie de dimension deux. Comme application de ce résultat on montre, en particulier, que le second jet d'un champ de vecteurs holomorphe défini sur une variété compacte M de dimension 3 ne peut pas s'annuler en une singularité isolée si la variété M admet plus d'un unique champ de vecteurs holomorphe.