The Li–Yau inequality and heat kernels on metric measure spaces

Let (X,d,μ)(X,d,μ) be an RCD⁎(K,N)RCD⁎(K,N) space with K∈RK∈R and N∈[1,∞)N∈[1,∞). Suppose that (X,d)(X,d) is connected, complete and separable, and suppμ=X. We prove that the Li–Yau inequality for the heat flow holds true on (X,d,μ)(X,d,μ) when K≥0K≥0. A Baudoin–Garofalo inequality and Harnack inequalities for the heat flow are established on (X,d,μ)(X,d,μ) for general K∈RK∈R. Large time behaviors of heat kernels are also studied.

RésuméSoit (X,d,μ)(X,d,μ) un espace RCD⁎(K,N)RCD⁎(K,N) avec K∈RK∈R et N∈[1,∞)N∈[1,∞). On suppose que (X,d)(X,d) est connexe, complet et séparable et suppμ=X. On démontre que l'inégalité de Li–Yau pour le flot de la chaleur sur (X,d,μ)(X,d,μ) est satisfaite lorsque K≥0K≥0. De plus, on établit une inégalité de type Baudoin–Garofalo ainsi que des inégalités de Harnack pour ce flot dans la situation plus générale où K∈RK∈R. Le comportement en temps long des noyaux de la chaleur est aussi étudié.