Shape deformation analysis from the optimal control viewpoint

A crucial problem in shape deformation analysis is to determine a deformation of a given shape into another one, which is optimal for a certain cost. It has a number of applications in particular in medical imaging.In this article we provide a new general approach to shape deformation analysis, within the framework of optimal control theory, in which a deformation is represented as the flow of diffeomorphisms generated by time-dependent vector fields. Using reproducing kernel Hilbert spaces of vector fields, the general shape deformation analysis problem is specified as an infinite-dimensional optimal control problem with state and control constraints. In this problem, the states are diffeomorphisms and the controls are vector fields, both of them being subject to some constraints. The functional to be minimized is the sum of a first term defined as geometric norm of the control (kinetic energy of the deformation) and of a data-attachment term providing a geometric distance to the target shape.This point of view has several advantages. First, it allows one to model general constrained shape analysis problems, which opens new issues in this field. Second, using an extension of the Pontryagin maximum principle, one can characterize the optimal solutions of the shape deformation problem in a very general way as the solutions of constrained geodesic equations. Finally, recasting general algorithms of optimal control into shape analysis yields new efficient numerical methods in shape deformation analysis. Overall, the optimal control point of view unifies and generalizes different theoretical and numerical approaches to shape deformation problems, and also allows us to design new approaches.The optimal control problems that result from this construction are infinite dimensional and involve some constraints, and thus are nonstandard. In this article we also provide a rigorous and complete analysis of the infinite-dimensional shape space problem with constraints and of its finite-dimensional approximations.

RésuméUn problème important en analyse de formes est de déterminer une déformation d'une forme donnée vers une autre, de manière optimale par rapport à un certain critère. Il existe de nombreuses applications en particulier dans le domaine de l'imagerie médicale.Dans cet article on développe une nouvelle approche générale à l'analyse de formes, qui s'inscrit dans le cadre de la théorie du contrôle optimal, dans laquelle une déformation est représentée comme le flot de difféomorphismes engendrés par un champ de vecteurs dépendant du temps. En utilisant des espaces de Hilbert de champs de vecteurs à noyau reproduisant, le problème général de déformation s'exprime comme un problème de contrôle optimal en dimension infinie, avec des contraintes sur le contrôle et sur l'état. Dans ce problème, les états sont des difféomorphismes et les contrôles sont des champs de vecteurs, les deux étant soumis à des contraintes. La fonctionnelle à minimiser est la somme d'un premier terme qui est une norme géométrique du contrôle (énergie cinétique de la déformation) et d'un terme d'attache aux données qui est une distance géométrique à la forme cible.Ce point de vue a plusieurs avantages. Premièrement, il permet de modéliser des problèmes généraux d'analyse de formes sous contraintes, ce qui ouvre de nouvelles pistes dans cette thématique. Deuxièmement, en utilisant une extension du principe du maximum de Pontryagin, on peut caractériser les solutions optimales du problème de déformation de manière très générale comme étant les solutions d'équations géodésiques contraintes. Finalement, les algorithmes généraux de contrôle optimal, appliqués dans ce contexte d'analyse de formes, fournissent de nouvelles méthodes efficaces dans le problème de déformation. Surtout, le point de vue du contrôle optimal unifie et généralise différentes approches théoriques et numériques du problème d'analyse de formes, et permet aussi d'élaborer de nouvelles approches.Les problèmes de contrôle optimal qui résultent de cette construction sont de dimension infinie et incluent des contraintes, et donc, sont non standards. Dans cet article on développe aussi une analyse complète et rigoureuse du problème des espaces de formes en dimension infinie, avec contraintes, et de leurs approximations de dimension finie.