Breaking the curse of dimensionality in sparse polynomial approximation of parametric PDEs

The numerical approximation of parametric partial differential equations D(u,y)=0D(u,y)=0 is a computational challenge when the dimension d of the parameter vector y is large, due to the so-called curse of dimensionality. It was recently shown in [1] and [2] that, for a certain class of elliptic PDEs with diffusion coefficients depending on the parameters in an affine manner, there exist polynomial approximations to the solution map y↦u(y)y↦u(y) with an algebraic convergence rate that is independent of the parametric dimension d. The analysis in [1] and [2] used, however, the affine parameter dependence of the operator. The present paper proposes a strategy for establishing similar results for classes of parametric PDEs that do not necessarily fall in this category. Our approach is based on building an analytic extension z↦u(z)z↦u(z) of the solution map on certain tensor product of ellipses in the complex domain, and using this extension to estimate the Legendre coefficients of u  . The varying semi-axes lengths of the ellipses in each coordinate zjzj reflect the anisotropy of the solution map with respect to the corresponding parametric variables yjyj. This allows us to derive algebraic convergence rates for tensorized Legendre expansions in the case d=∞d=∞. We also show that such rates are preserved when using certain interpolation procedures, which is an instance of a non-intrusive method. As examples of parametric PDEs that are covered by this approach, we consider (i) elliptic diffusion equations with coefficients that depend on the parameter vector y in a not necessarily affine manner, (ii) parabolic diffusion equations with similar dependence of the coefficient on y, (iii) nonlinear, monotone parametric elliptic PDEs, and (iv) elliptic equations set on a domain that is parametrized by the vector y. We give general strategies that allow us to derive the analytic extension in a unified abstract way for all these examples, in particular based on the holomorphic version of the implicit function theorem in Banach spaces. We expect that this approach can be applied to a large variety of parametric PDEs, showing that the curse of dimensionality can be overcome under mild assumptions.

RésuméL'approximation numérique des équations aux dérivées partielles paramétriques D(u,y)=0D(u,y)=0 constitue un défi de calcul lorsque la dimension d du vecteur de paramètre y est grande, en raison de ce qui est communément appelé plaie des grandes dimensions. Dans [1] and [2], il a été démontré que, pour une certaine classe d'EDP elliptiques à coefficients de diffusion dépendant de façon affine des paramètres, il existe des approximations polynomiales de l'application solution y↦u(y)y↦u(y) qui convergent avec un taux N−sN−s indépendant de la dimension du paramètre d. Cependant, l'analyse conduite dans [1] and [2] exploite essentiellement la dépendance linéaire de DD en y  . Cet article propose une stratégie qui permet d'établir le même type de résultats pour des classes d'EDP paramétriques qui ne rentrent pas dans la catégorie précédente. Notre approche est fondée sur la construction d'une extension holomorphe z↦u(z)z↦u(z) de l'application solution sur des produits tensoriels d'ellipses dans le domaine complexe, puis l'utilisation de cette extension pour l'estimation des coefficients de Legendre de u  . La variation des longueurs de demi-axes des ellipses pour chaque coordonée zjzj exprime l'anisotropie de la dépendance de l'application solution u   par rapport à la coordonnée correspondante yjyj. Ceci nous permet d'obtenir des taux de convergence en N−sN−s des series de Legendre dans le cas d=∞d=∞. On montre également que de tels taux sont preservés lorsqu'un certain processus d'interpolation est utilisé pour l'approximation. Nous appliquons notre approche à divers types d'EDP paramétriques. On considére ainsi (i) des équations elliptiques de diffusion dont le coefficient ne dépend pas nécessairement de façon affine du paramètre vecteur y, (ii) des équations paraboliques de diffusion avec le même type de dépendance en y, (iii) des EDP paramétriques elliptiques non linéaires monotones (iv) des EDP considérées sur un domaine paramétré par le vecteur y. Nous proposons des stratégies générales qui permettent de construire l'extension holomorphe de u, dans un cadre abstrait commun à tous les exemples précédents, en particulier, en utilisant la version holomorphe du théorème des fonctions implicites dans les espaces de Banach. Notre approche peut ainsi être appliquée à différents types d'EDP paramétriques, permettant de contourner la plaie des grandes dimensions sous des hypothèses assez faibles.