Higher dimensional Frobenius problem: Maximal saturated cone, growth function and rigidity

We consider m   integral vectors X1,…,Xm∈ZsX1,…,Xm∈Zs located in a half-space of RsRs (m≥s≥1m≥s≥1) and study the structure of the additive semi-group X1N+⋯+XmNX1N+⋯+XmN. We introduce and study maximal saturated cone and directional growth function which describe some aspects of the structure of the semi-group. When the vectors X1,⋯,XmX1,⋯,Xm are located in a fixed hyperplane, we obtain an explicit formula for the directional growth function and we show that this function completely characterizes the defining data (X1,⋯,Xm)(X1,⋯,Xm) of the semi-group. The last result will be applied to the study of Lipschitz equivalence of Cantor sets (see [11]).

RésuméOn considére m   vecteurs X1,…,Xm∈ZsX1,…,Xm∈Zs localisés dans un demi-espace de RsRs (m≥s≥1m≥s≥1) et on étudie la structure du semi-groupe additif X1N+⋯+XmNX1N+⋯+XmN. Dans cet article on introduit et on étudie la notion de cône saturé maximal et celle de la fonction de croissance directionnelle, qui permettent de décrire certains aspects de la structure du semi-groupe. Lorsque les vecteurs X1,⋯,XmX1,⋯,Xm sont localisés dans un hyperplane fixe, on obtient une formule explicite pour la fonction de croissance directionnelle et on montre que cette fonction caractérise complètement la donnée (X1,⋯,Xm)(X1,⋯,Xm) qui définit le semi-groupe. Ce dernier résultat sera appliqué à l'étude de l'équivalence lipschitzienne d'ensembles de Cantors (voir [11]).