Positive solutions of a class of semilinear equations with absorption and Schrödinger equations

Several results about positive solutions – in a Lipschitz domain – of a nonlinear elliptic equation in a general form Δu(x)−g(x,u(x))=0Δu(x)−g(x,u(x))=0 are proved, extending thus some known facts in the case of g(x,t)=tqg(x,t)=tq, q>1q>1, and a smooth domain. Our results include a characterization – in terms of a natural capacity – of a (conditional) removability property, a characterization of moderate solutions and of their boundary trace and a property relating arbitrary positive solutions to moderate solutions. The proofs combine techniques of non-linear p.d.e. with potential theoretic methods with respect to linear Schrödinger equations. A general result describing the measures that are diffuse with respect to certain capacities is also established and used. Appendix A by the first author provides classes of functions g   such that the nonnegative solutions of Δu−g(.,u)=0Δu−g(.,u)=0 have some “good” properties that appear in the paper.

RésuméOn établit plusieurs résultats concernant les solutions – dans un domaine de Lipschitz – d'équations elliptiques non linéaires de la forme Δu(x)−g(x,u(x))=0Δu(x)−g(x,u(x))=0. On étend ainsi des faits qui, pour le cas de g(x,t)=tqg(x,t)=tq, q>1q>1, et d'un domaine lisse, sont classiques. On obtient en particulier une condition d'effaçabilité (conditionnelle), une caractérisation des solutions modérées et de leurs traces sur le bord et une propriété reliant les solutions positives quelconques aux solutions modérées. Les démonstrations combinent des techniques d'e.d.p. non linéaires et des méthodes de la théorie du potentiel associée à une équation de Schrödinger linéaire. Un résultat général décrivant les mesures qui sont diffuses relativement à certaines capacités est également établi et utilisé. L'Appendice A par le premier auteur met en évidence des classes de fonctions g   pour lesquelles les solutions positives de Δu−g(.,u)=0Δu−g(.,u)=0 ont les “bonnes” propriétés utilisées dans l'article.