A fluid–structure model coupling the Navier–Stokes equations and the Lamé system

We study a fluid–structure system describing the motion of an elastic solid inside an incompressible viscous fluid in three dimensions. The motion of the solid is described by the Lamé system of linear elasticity and the fluid obeys the incompressible Navier–Stokes equations in a time-dependent domain. At the fluid–solid interface, natural conditions are imposed, continuity of the velocities and of the Cauchy stress forces. The fluid and the solid are coupled through these conditions. By this interaction, the fluid deforms the boundary of the solid which in turn influences the fluid motion. We prove the existence and uniqueness of local strong solutions by rewriting the coupled system in Lagrangian variables and by using the method of successive approximations. Our analysis relies on new regularity results for the linearized coupled system. In particular, if u˜ is the Lagrangian velocity of our system, we have to estimate separately Pu˜ and (I−P)u˜, where P is the Leray projector for the fluid model. Moreover, we prove new hidden regularity results for the Lamé system, that we are able to establish only in the case when the interface, in the reference configuration, between the fluid and the solid is flat. Due to this restriction, the model is completed by periodic boundary conditions in two directions. The other results may be transposed to more general configurations.

RésuméOn étudie un système fluide–structure décrivant le mouvement d'un solide élastique à l'intérieur d'un fluide visqueux incompressible en trois dimensions. Le mouvement du solide est décrit par le système de l'élasticité linéaire de Lamé et le fluide obéit aux équations de Navier–Stokes incompressibles dans un domaine dépendant du temps. A l'interface liquide–solide, des conditions naturelles sont imposées, la continuité des vitesses et des traces du tenseur des contraintes de Cauchy. Le fluide et le solide sont couplés par le biais de ces conditions. Par cette interaction, le fluide déforme la frontière du solide qui à son tour influence le mouvement du fluide. On démontre l'existence et l'unicité de solutions fortes locales en réécrivant le système couplé en variables lagrangiennes et en utilisant la méthode des approximations successives. Notre analyse s'appuie sur de nouveaux résultats de régularité pour le système couplé linéarisé. En particulier, si u˜ est la vitesse de Lagrange de notre système, on doit évaluer séparément Pu˜ et (I−P)u˜, où P est le projecteur de Leray pour le modèle fluide. En outre, on démontre de nouveaux résultats de régularité cachée pour le système de Lamé, que nous sommes en mesure d'établir dans le cas où l'interface, dans la configuration de référence, entre le liquide et le solide est plate. En raison de cette restriction, le modèle est complété par des conditions aux limites périodiques dans deux directions. Les autres résultats peuvent être transposés à des configurations plus générales.