The equations of elastostatics in a Riemannian manifold

To begin with, we identify the equations of elastostatics in a Riemannian manifold, which generalize those of classical elasticity in the three-dimensional Euclidean space. Our approach relies on the principle of least energy, which asserts that the deformation of the elastic body arising in response to given loads minimizes over a specific set of admissible deformations the total energy of the elastic body, defined as the difference between the strain energy and the potential of the loads. Assuming that the strain energy is a function of the metric tensor field induced by the deformation, we first derive the principle of virtual work and the associated nonlinear boundary value problem of nonlinear elasticity from the expression of the total energy of the elastic body. We then show that this boundary value problem possesses a solution if the loads are sufficiently small (in a sense we specify).

RésuméDans un premier temps, on identifie les équations de l'élastostatique dans une variété riemannienne, qui généralisent celles de la théorie classique de l'élasticité dans l'espace euclidien tridimensionnel. Notre approche repose sur le principe de moindre action, qui affirme que la déformation du corps élastique sous l'action des forces externes minimise sur l'ensemble des déformations admissibles l'énergie totale du corps élastique, définie comme la différence entre l'énergie de déformation et le potentiel des forces externes. Sous l'hypothèse que l'énérgie de déformation est une fonction du champ de tenseurs métriques induit par la déformation, on déduit dans un premier temps le principe des travaux virtuels et le problème aux limites associé à partir de l'expression de l'énergie totale du corps élastique. On démontre ensuite que ce problème aux limites admet une solution si les forces externes sont suffisamment petites (en un sens que nous précisons).