Four-dimensional Kähler metrics admitting c-projective vector fields

A vector field on a Kähler manifold is called c-projective if its flow preserves the J-planar curves. We give a complete local classification of Kähler real 4-dimensional manifolds that admit an essential c-projective vector field. An important technical step is a local description of 4-dimensional c-projectively equivalent metrics of arbitrary signature. As an application of our results we prove the natural analog of the classical Yano–Obata conjecture in the pseudo-Riemannian 4-dimensional case.

RésuméUn champ de vecteurs sur une variété kählerienne s'appelle c-projectif si son flot préserve les courbes J-planaires. On donne une classification locale complète des variétés kähleriennes à quatre dimensions réelles qui possèdent un champ de vecteurs c-projectif essentiel. Une étape technique importante est une description locale des métriques de signature arbitraire et de dimension quatre qui sont c-projectivement équivalentes. Comme application des résultats, on démontre l'analogue naturel de la conjecture classique de Yano–Obata pour le cas pseudo-riemannien à quatre dimensions.