On the second inner variations of Allen–Cahn type energies and applications to local minimizers

In this paper, we obtain an explicit formula for the discrepancy between the limit of the second inner variations of p-Laplace Allen–Cahn energies and the second inner variation of their Γ-limit which is the area functional. Our analysis explains the mysterious discrepancy term found in our previous paper [8] in the case p=2p=2. The discrepancy term turns out to be related to the convergence of certain 4-tensors which are absent in the usual Allen–Cahn functional. These (hidden) 4-tensors suggest that, in the complex-valued Ginzburg–Landau setting, we should expect a different discrepancy term which we are able to identify. Along the way, we partially answer a question of Kohn and Sternberg [6] by giving a relation between the limit of second variations of the Allen–Cahn functional and the second inner variation of the area functional at local minimizers. Moreover, our analysis reveals an interesting identity connecting second inner variation and Poincaré inequality for area-minimizing surfaces with volume constraint in the work of Sternberg and Zumbrun [16].

RésuméDans cet article, on obtient une formule explicite pour la différence entre la limite des deuxièmes variations internes des énergies du p-laplacien de Allen–Cahn et la seconde variation interne de leur Γ-limite qui est la fonctionnelle d'aire. L'analyse explique la différence mystérieuse trouvée dans notre article précédent [8] dans les cas p=2p=2. Cette différence se révèle être en rapport avec la convergence de certains 4-tenseurs qui sont absents dans la fonctionnelle Allen–Cahn habituelle. Ces 4-tenseurs (cachés) suggèrent que, dans le cadre de Ginzburg–Landau à valeurs complexe, on s'attend à un terme de divergence différent que nous sommes en mesure d'identifier. En particulier, on répond en partie une question de Kohn et Sternberg [6] en donnant une relation entre la limite des deuxièmes variations de la fonctionnelle Allen–Cahn et la deuxième variation interne de la fonctionnelle d'aire aux points de minimum locaux. De plus, l'analyse révèle une identité intéressante qui relie les deuxièmes variations internes et l'inégalité de Poincaré pour les surfaces d'aire minimisante avec contrainte de volume dans l'article de Sternberg et Zumbrun [16].