On a lemma of Jacques-Louis Lions and its relation to other fundamental results

Let Ω   be a domain in RNRN, i.e., a bounded and connected open subset of RNRN with a Lipschitz-continuous boundary ∂Ω, the set Ω being locally on the same side of ∂Ω  . A fundamental lemma, due to Jacques-Louis Lions, provides a characterization of the space L2(Ω)L2(Ω), as the space of all distributions on Ω   whose gradient is in the space H−1(Ω)H−1(Ω). This lemma, which provides in particular a short proof of a crucial inequality due to J. Nečas, is also a key for proving other basic results, such as, among others, the surjectivity of the divergence operator acting from H01(Ω) into L02(Ω), a “weak” form of the Poincaré lemma or a “simplified version” of de Rham theorem, each of which provides sufficient conditions insuring that a vector field in H−1(Ω)H−1(Ω) is the gradient of a function in L2(Ω)L2(Ω). The main objective of this paper is to establish an “equivalence theorem”, which asserts that J.L. Lions lemma is in effect equivalent to a number of other fundamental properties, which include in particular the ones mentioned above. The key for proving this theorem is a specific “approximation lemma”, itself one of these equivalent results, which appears to be new to the best of our knowledge. Some of these equivalent properties can be given an independent, i.e., “direct”, proof, such as for instance the constructive proof by M.E. Bogovskii of the surjectivity of the divergence operator. Therefore, the proof of any one of such properties provides, by way of our equivalence theorem, a means of proving J.L. Lions lemma, the known “direct” proofs of which for a general domain are notoriously difficult.

RésuméSoit Ω   un domaine de RNRN, c'est-à-dire un ouvert borné et connexe de RNRN, de frontière ∂Ω lipschitzienne, l'ouvert Ω étant localement d'un même côté de ∂Ω  . Un lemme fondamental, dû à Jacques-Louis Lions, fournit une caractérisation de l'espace L2(Ω)L2(Ω) comme l'espace de toutes les distributions sur Ω   dont le gradient est dans l'espace H−1(Ω)H−1(Ω). Ce lemme, qui fournit en particulier une démonstration courte d'une inégalité cruciale due à J. Nečas, est aussi à la base de la démonstration d'autres résultats fondamentaux, tels que, entre autres, la surjectivité de l'opérateur divergence agissant de H01(Ω) dans L02(Ω), une version “faible” du lemme de Poincaré ou une “version simplifiée” du théorème de de Rham, qui fournissent chacune des conditions suffisantes pour qu'un champ de vecteurs dans H−1(Ω)H−1(Ω) soit le gradient d'une fonction de L2(Ω)L2(Ω). L'objet principal de cet article est d'établir un “théorème d'équivalence”, qui montre que le lemme de J.L. Lions est en fait équivalent à un certain nombre d'autres propriétés fondamentales, qui incluent en particulier celles mentionnées ci-dessus. La clef pour démontrer ce théorème est un “lemme d'approximation” spécifique, qui constitue lui-même l'un de ces résultats équivalents et qui semble nouveau à notre connaissance. Certaines de ces propriétés équivalentes peuvent être démontrées indépendamment, c'est-à-dire par une démonstration “directe”, telle que, par exemple, la démonstration constructive par M.E. Bogovskii de la surjectivité de l'opérateur divergence. Par suite, la démonstration de chacune de ces propriétés fournit, par le biais de notre théorème d'équivalence, une démonstration du lemme de J.L. Lions, dont les preuves “directes” connues pour un domaine général sont notoirement difficiles.