On the rate of convergence to equilibrium for the homogeneous Landau equation with soft potentials

We investigate in this work the rate of convergence to equilibrium of solutions to the spatially homogeneous Landau equation with soft potentials. Firstly, we prove a polynomial in time convergence using an entropy method with some new a priori estimates. Finally, we prove an exponential in time convergence towards the equilibrium with the optimal rate, given by the spectral gap of the associated linearised operator, combining new decay estimates for the semigroup generated by the linearised Landau operator in weighted LpLp-spaces together with the polynomial decay described above.

RésuméOn étudie le taux de convergence vers l'équilibre pour les solutions de l'équation de Landau homogène en espace avec potentiels mous. Premièrement, on démontre une convergence polynomiale en temps, en utilisant une méthode d'entropie avec de nouvelles estimations a priori. Finalement, on démontre une convergence vers l'équilibre exponentiel en temps, avec le taux optimal donné par le trou spectral de l'opérateur linearisé associé, en combinant de nouvelles estimations de décroissance, dans des espaces LpLp à poids, pour le semigroupe généré par l'opérateur de Landau linearisé avec la décroissance polynomiale en temps décrite ci-dessus.