Quasilinear Lane–Emden equations with absorption and measure data

We study the existence of solutions to the equation −Δpu+g(x,u)=μ−Δpu+g(x,u)=μ when g(x,.)g(x,.) is a nondecreasing function and μ   a measure. We characterize the good measures, i.e. the ones for which the problem has a renormalized solution. We study particularly the cases where g(x,u)=|x|−β|u|q−1ug(x,u)=|x|−β|u|q−1u and g(x,u)=sgn(u)(eτ|u|λ−1)g(x,u)=sgn(u)(eτ|u|λ−1). The results state that a measure is good if it is absolutely continuous with respect to an appropriate Lorentz–Bessel capacities.

RésuméOn étudie l'existence de solutions à l'équation −Δpu+g(x,u)=μ−Δpu+g(x,u)=μ où g(x,.)g(x,.) est une fonction croissante et μ   une mesure. On caractérise les bonnes mesures, c'est à dire celles pour lesquelles le problème a une solution renormalisée. On étudie tout particulièrement les cas où g(x,u)=|x|−β|u|q−1ug(x,u)=|x|−β|u|q−1u et g(x,u)=sgn(u)(eτ|u|λ−1)g(x,u)=sgn(u)(eτ|u|λ−1). Les résultats montrent qu'une mesure est bonne si elle est absolument continue par rapport à une certaine capacité de Lorentz–Bessel.