Symmetrization for linear and nonlinear fractional parabolic equations of porous medium type

We establish symmetrization results for the solutions of the linear fractional diffusion equation ∂tu+(−Δ)σ/2u=f∂tu+(−Δ)σ/2u=f and its elliptic counterpart hv+(−Δ)σ/2v=fhv+(−Δ)σ/2v=f, h>0h>0, using the concept of comparison of concentrations. The results extend to the nonlinear version, ∂tu+(−Δ)σ/2A(u)=f∂tu+(−Δ)σ/2A(u)=f, but only when the nondecreasing function A:R+→R+A:R+→R+ is concave. In the elliptic case, complete symmetrization results are proved for B(v)+(−Δ)σ/2v=fB(v)+(−Δ)σ/2v=f when B(v)B(v) is a convex nonnegative function for v>0v>0 with B(0)=0B(0)=0, and partial results hold when B is concave. Remarkable counterexamples are constructed for the parabolic equation when A is convex, resp. for the elliptic equation when B   is concave. Such counterexamples do not exist in the standard diffusion case σ=2σ=2.

RésuméOn établit des résultats de symétrisation pour les solutions de l'équation de diffusion fractionnaire linéaire ∂tu+(−Δ)σ/2u=f∂tu+(−Δ)σ/2u=f et l'équation elliptique associée hv+(−Δ)σ/2v=fhv+(−Δ)σ/2v=f, h>0h>0, en utilisant le concept de comparaison des concentrations. Les résultats s'étendent à la version non linéaire, ∂tu+(−Δ)σ/2A(u)=f∂tu+(−Δ)σ/2A(u)=f, mais seulement quand la fonction monotone croissante A:R+→R+A:R+→R+ est concave. Dans le cas elliptique, des résultats de symétrisation complets sont démontrés pour B(v)+(−Δ)σ/2v=fB(v)+(−Δ)σ/2v=f si B(v)B(v) est une fonction non négative convexe pour v>0v>0 avec B(0)=0B(0)=0, et des résultats partiels quand B est concave. Des contrexamples remarquables sont construits pour l'équation parabolique lorsque A est convexe, resp. pour l'équation elliptique quand B   est concave. Ces contrexamples n'existent pas dans le cas de la diffusion habituelle, σ=2σ=2.