On k-gonal loci in Severi varieties on general K3 surfaces and rational curves on hyperkähler manifolds

In this paper we study the gonality of the normalizations of curves in the linear system |H||H| of a general primitively polarized complex K  3 surface (S,H)(S,H) of genus p  . We prove two main results. First we give a necessary condition on p,g,r,dp,g,r,d for the existence of a curve in |H||H| with geometric genus g   whose normalization has a gdr. Secondly we prove that for all numerical cases compatible with the above necessary condition, there is a family of nodal   curves in |H||H| of genus g   carrying a gk1 and of dimension equal to the expected dimension  min{2(k−1),g}min{2(k−1),g}. Relations with the Mori cone of the hyperkähler manifold Hilbk(S)Hilbk(S) are discussed.

RésuméDans cet article on étudié la gonalité des normalisations des courbes dans le système linéaire |H||H| d'une surface générale K  3 complexe principalement polarisée (S,H)(S,H) de genre p  . On démontre deux resultats principaux. Premièrement on donne une condition nécessaire sur p,g,r,dp,g,r,d à l'existence d'une courbe dans |H||H| de genre géometrique g   dont la normalisation a un gdr. Deuxièmement on démontre que pour tous les cas numérique compatible avec la condition nécessaire ci-dessus, il existe une famille de courbes nodales   dans |H||H| de genre g   qui possèdent un gk1 et dont la dimension est égale à la dimension attendue  min{2(k−1),g}min{2(k−1),g}. On discute aussi des relations avec le cône de Mori de la variété hyperkählerienne Hilbk(S)Hilbk(S).