A description of all possible decay rates for solutions of some semilinear parabolic equations

On considère une équation d'évolution abstraite du premier ordre dans laquelle la partie linéaire du générateur est un opérateur auto-adjoint A positif au sens large et à spectre discret sur un espace de Hilbert H, avec une perturbation non linéaire d'ordre supérieur à 1 à l'origine. On montre qu'en général plusieurs types de comportement à l'infini sont possibles pour celles des solutions qui tendent vers 0. Près du noyau de A, la dynamique est gouvernée par la partie non linéaire, produisant une convergence vers 0 comme une puissance négative bien déterminée de t. En revanche, près de l'image de A, le terme non linéaire est négligeable, et les solutions se comportent comme celles du système linéarisé. Plus précisément, dans ce cas on a une convergence exponentielle vers 0, avec un décrément logarithmique et un profil asymptotique donnés par un mode simple de l'équation linéarisée. Ces résultats abstraits permettent de classifier suivant leur ordre de convergence toutes les solutions de certains problèmes paraboliques semilinéaires dissipatifs.