Global existence versus blow-up results for a fourth order parabolic PDE involving the Hessian

We consider a partial differential equation that arises in the coarse-grained description of epitaxial growth processes. This is a parabolic equation whose evolution is governed by the competition between the determinant of the Hessian matrix of the solution and the biharmonic operator. This model might present a gradient flow structure depending on the boundary conditions. We first extend previous results on the existence of stationary solutions to this model for Dirichlet boundary conditions. For the evolution problem we prove local existence of solutions for arbitrary data and global existence of solutions for small data. By exploiting the boundary conditions and the variational structure of the equation, according to the size of the data we prove finite time blow-up of the solution and/or convergence to a stationary solution for global solutions.

RésuméOn considère une équation différentielle qui décrit la croissance épitaxiale d'une couche rugueuse de façon macroscopique. Il s'agit d'une équation parabolique pour laquelle l'évolution est gouvernée par une compétiton entre le déterminant Hessien de la solution et l'opérateur biharmonique. Ce modèle peut présenter une structure de flux gradient suivant les conditions au bord. On étend d'abord des résultats précédents sur l'existence de solutions stationnaires pour ce modèle avec des conditions de Dirichlet. Pour l'équation d'évolution on démontre l'existence locale de solutions pour toute donnée initiale et l'existence globale pour des données suffisamment petites. En exploitant les conditions au bord et la structure variationnelle de l'équation, suivant la taille de la donnée initiale on démontre l'explosion en temps fini et/ou la convergence vers une solution stationnaire pour les solutions globales.