The Dirichlet problem for the fractional Laplacian: Regularity up to the boundary

We study the regularity up to the boundary of solutions to the Dirichlet problem for the fractional Laplacian. We prove that if u   is a solution of (−Δ)su=g(−Δ)su=g in Ω  , u≡0u≡0 in Rn\ΩRn\Ω, for some s∈(0,1)s∈(0,1) and g∈L∞(Ω)g∈L∞(Ω), then u   is Cs(Rn)Cs(Rn) and u/δs|Ωu/δs|Ω is CαCα up to the boundary ∂Ω   for some α∈(0,1)α∈(0,1), where δ(x)=dist(x,∂Ω)δ(x)=dist(x,∂Ω). For this, we develop a fractional analog of the Krylov boundary Harnack method.Moreover, under further regularity assumptions on g we obtain higher order Hölder estimates for u   and u/δsu/δs. Namely, the CβCβ norms of u   and u/δsu/δs in the sets {x∈Ω:δ(x)⩾ρ}{x∈Ω:δ(x)⩾ρ} are controlled by Cρs−βCρs−β and Cρα−βCρα−β, respectively.These regularity results are crucial tools in our proof of the Pohozaev identity for the fractional Laplacian (Ros-Oton and Serra, 2012 [19] and [20]).

RésuméOn étudie la régularité jusqu'à la frontière des solutions du problème de Dirichlet pour le laplacien fractionnaire. On montre que si u   est une solution de (−Δ)su=g(−Δ)su=g dans Ω   et u≡0u≡0 dans Rn\ΩRn\Ω, avec s∈(0,1)s∈(0,1) et g∈L∞(Ω)g∈L∞(Ω), alors u   est Cs(Rn)Cs(Rn) et u/δs|Ωu/δs|Ω est CαCα jusqu'au bord ∂Ω   pour un certain α∈(0,1)α∈(0,1), où δ(x)=dist(x,∂Ω)δ(x)=dist(x,∂Ω). Pour cela, on met en place une méthode fractionnaire analogue à celle de Krylov pour l'inégalité de Harnack au bord.En outre, sous des hypothèses de régularité supplémentaires sur g, on obtient des estimations de Hölder d'ordre supérieur pour u   et u/δsu/δs. Plus précisément, la norme CβCβ de u   (respectivement de u/δsu/δs) dans {x∈Ω:δ(x)⩾ρ}{x∈Ω:δ(x)⩾ρ} est contrôlée par Cρs−βCρs−β (respectivement par Cρα−βCρα−β).Ces résultats de régularité sont essentiels dans notre démonstration de l'identité de Pohozaev pour le laplacien fractionnaire (Ros-Oton et Serra, 2012 [19] and [20]).