Solutions with multiple catenoidal ends to the Allen–Cahn equation in R3R3

We consider the Allen–Cahn equation Δu+u(1−u2)=0Δu+u(1−u2)=0 in R3R3. We construct two classes of axially symmetric solutions u=u(|x′|,x3)u=u(|x′|,x3) such that the (multiple) components of the zero set look for large |x′||x′| like catenoids, namely |x3|∼Alog⁡|x′||x3|∼Alog⁡|x′|. In Theorem 1, we find a solution which is even in x3x3, with Morse index one and a zero set with exactly two components, which are graphs. In Theorem 2, we construct a solution with a zero set with two or more nested catenoid-like components, whose Morse index become as large as we wish. While it is a common idea that nodal sets of the Allen–Cahn equation behave like minimal surfaces, these examples show that the nonlocal interaction between disjoint portions of the nodal set, governed in suitably asymptotic regimes by explicit systems of 2d PDE, induces richness and complex structure of the set of entire solutions, beyond the one in minimal surface theory.

RésuméOn considère l'équation de Allen–Cahn Δu+u(1−u2)=0Δu+u(1−u2)=0 dans R3R3. On construit deux classes de solutions à symétrie axiale u=u(|x′|,x3)u=u(|x′|,x3) telles que les composantes (multiples) de l'ensemble des zéros ressemblent à des caténoi̋des pour les grandes valeurs de |x′||x′|, c'est-à-dire pour |x′|∼Alog⁡|x′||x′|∼Alog⁡|x′|. Le Théorème 1 donne une solution paire en x3x3, d'indice de Morse égal à 1 et un ensemble de zéros ayant exactement deux composantes qui sont des graphes. Dans le Théorème 2 on construit une solution avec un ensemble de zéros à deux ou plusieurs composantes imbriquées, semblables à des caténoi̋des d'indice de Morse arbitrairement grand. Si on pense généralement que les ensembles nodaux de l'équation de Allen–Cahn se comportent comme des surfaces minimales, ces exemples montrent que l'interaction non locale entre les parties disjointes de l'ensemble nodal sont régies par des systèmes explicites de deux équations aux dérivées partielles. Ceci montre la richesse et la structure complexe de l'ensemble des solutions entières, bien au-delà de la théorie des surfaces minimales.