Simultaneous global exact controllability of an arbitrary number of 1d bilinear Schrödinger equations

We consider a system of an arbitrary number of 1d linear Schrödinger equations on a bounded interval with bilinear control. We prove global exact controllability in large time of these N equations with a single control. This result is valid for an arbitrary potential with generic assumptions on the dipole moment of the considered particle. Thus, even in the case of a single particle, this result extends the available literature. The proof combines local exact controllability around finite sums of eigenstates, proved with Coron's return method, a global approximate controllability property, proved with Lyapunov strategy, and a compactness argument.

RésuméOn considère un système d'un nombre arbitraire d'équations de Schrödinger 1d linéaires sur un intervalle borné avec un contrôle bilinéaire. On démontre la contrôlabilité exacte globale en temps grand de ces N équations avec un seul contrôle. Ce résultat est démontré pour un potentiel arbitraire sous des hypothèses génériques sur le moment dipolaire. Ainsi, même pour une seule particule, ce résultat généralise la littérature existante. La démonstration combine la contrôlabilité locale au voisinage de sommes finies d'états propres, démontré par la méthode du retour de Coron, une propriété de contrôle global approché, démontré par une stratégie de Lyapunov, et un argument de compacité.