Nonlinear Donati compatibility conditions and the intrinsic approach for nonlinearly elastic plates

Linear Donati compatibility conditions guarantee that the components of symmetric tensor fields are those of linearized change of metric or linearized change of curvature tensor fields associated with the displacement vector field arising in a linearly elastic structure when it is subjected to applied forces. These compatibility conditions take the form of variational equations with divergence-free tensor fields as test-functions, by contrast with Saint-Venant compatibility conditions, which take the form of systems of partial differential equations.In this paper, we identify and justify nonlinear Donati compatibility conditions that apply to a nonlinearly elastic plate modeled by the Kirchhoff–von Kármán–Love theory. These conditions, which to the authors' best knowledge constitute a first example of nonlinear Donati compatibility conditions, in turn allow to recast the classical approach to this nonlinear plate theory, where the unknown is the position of the deformed middle surface of the plate, into the intrinsic approach, where the change of metric and change of curvature tensor fields of the deformed middle surface of the plate are the only unknowns. The intrinsic approach thus provides a direct way to compute the stress resultants and the stress couples inside the deformed plate, often the unknowns of major interest in computational mechanics.

RésuméLes conditions de compatibilité de Donati linéaires garantissent que les composantes de champs de tenseurs symétriques sont celles de tenseurs linéarisés de changement de métrique ou de changement de courbure, associés à un champ de déplacements apparaissant dans une structure élastique soumise à des forces appliquées. Ces conditions de compatibilité prennent la forme d'équations variationnelles avec des champs de tenseurs à divergence nulle comme fonctions-tests, par contraste avec les conditions de compatibilité de Saint-Venant, qui prennent la forme de systèmes d'équations aux dérivées partielles.Dans cet article, nous identifions et justifions des conditions de compatibilité de Donati non linéaires, qui s'appliquent à une plaque non linéairement élastique modélisée selon la théorie de Kirchhoff–von Kármán–Love. Ces conditions, qui à la connaissance des auteurs constituent un premier exemple de conditions de compatibilité de Donati non linéaires, permettent ensuite de reformuler l'approche classique de cette théorie non linéaire de plaques, où l'inconnue est la position de la surface moyenne déformée de la plaque, sous la forme de l'approche intrinsèque, où les champs de tenseurs de changement de métrique et de changement de courbure de la surface moyenne déformée de la plaque sont les seules inconnues. L'approche intrinsèque fournit ainsi un moyen direct de calculer les efforts tranchants et les moments fléchissants à l'intérieur de la plaque déformée, souvent les inconnues les plus significatives en calcul des structures.