Orientation-preserving condition and polyconvexity on a surface: Application to nonlinear shell theory

We propose in this paper a definition of a “polyconvex function on a surface”, inspired by the definitions set forth in other contexts by J. Ball (1977) [3], and by J. Ball, J.C. Currie, and P.J. Olver (1981) [5]. When the surface is thought of as the middle surface of a nonlinearly elastic shell and the function as its stored energy function, we show that it is possible to assume in addition that this function is coercive for appropriate Sobolev norms and that it satisfies specific growth conditions that prevent the vectors of the covariant bases along the deformed middle surface to become linearly dependent, a condition that is the “surface analogue” of the orientation-preserving condition of J. Ball. We then show that a functional with such a polyconvex integrand is weakly lower semi-continuous, a property which eventually allows to establish the existence of minimizers. We also indicate how this new approach compares with the classical nonlinear shell theories, such as those of W.T. Koiter and P.M. Naghdi.

RésuméOn propose dans cet article une définition de “fonction polyconvexe sur une surface”, inspirée des définitions proposées par J. Ball (1977) [3], et par J. Ball, J.C. Currie, et P.J. Olver (1981) [5] dans dʼautres contextes. Quand la surface est vue comme la surface moyenne dʼune coque non linéairement élastique et la fonction comme sa densité dʼénergie, on montre quʼil est loisible de supposer en plus que cette fonction est coercive pour des normes de Sobolev convenables et quʼelle satisfait des conditions de croissance particulières qui empêchent les vecteurs des bases covariantes le long de la surface déformée de devenir linéairement dépendants, une condition qui est “lʼanalogue pour une surface” de la condition de préservation de lʼorientation de J. Ball. On montre ensuite quʼune fonctionnelle avec une telle intégrande polyconvexe est faiblement semi-continue inférieurement, une propriété qui finalement permet dʼétablir lʼexistence de minimiseurs. On indique également comment cette approche se compare aux théories non linéaires classiques des coques, telle que celles de W.T. Koiter ou P.M. Naghdi.