Unstable patterns in reaction–diffusion model of early carcinogenesis

Motivated by numerical simulations showing the emergence of either periodic or irregular patterns, we explore a mechanism of pattern formation arising in the processes described by a system of a single reaction–diffusion equation coupled with ordinary differential equations. We focus on a basic model of early carcinogenesis proposed by Marciniak-Czochra and Kimmel [Comput. Math. Methods Med. 7 (2006) 189–213], [Math. Models Methods Appl. Sci. 17 (suppl.) (2007) 1693–1719], but the theory we develop applies to a wider class of pattern formation models with an autocatalytic non-diffusing component. The model exhibits diffusion-driven instability (Turing-type instability). However, we prove that all Turing-type patterns, i.e., regular stationary solutions, are unstable in the Lyapunov sense. Furthermore, we show existence of discontinuous stationary solutions, which are also unstable.

RésuméMotivés par des simulations numériques, qui montrent lʼémergence de structures soit périodiques ou irrégulières, on explore un mécanisme de formation de motifs spatiotemporels, survenant dans les procédés décrits par une équation de réaction–diffusion couplée avec les équations différentielles ordinaires. On se concentre sur un modèle de la cancérogenèse au stade initial, proposé par Marciniak-Czochra et Kimmel [Comput. Math. Methods Med. 7 (2006) 189–213], [Math. Models Methods Appl. Sci. 17 (suppl.) (2007) 1693–1719], mais la théorie développée ici sʼapplique à une catégorie plus large de modèles de formation de motifs spatiotemporels, avec une composante auto catalytique non-diffusive. Le modèle présente une instabilité provoquée par la diffusion (une instabilité de Turing). Cependant, on montre que toutes les structures de type Turing, c.-à.-d. des solutions régulières stationnaires, sont instables au sens de Lyapounoff. En outre, on montre lʼexistence de solutions stationnaires discontinues, qui sont aussi instables.