Unitarity of the KZ/Hitchin connection on conformal blocks in genus 0 for arbitrary Lie algebras

We prove that the vector bundles of conformal blocks, on suitable moduli spaces of genus zero curves with marked points, for arbitrary simple Lie algebras and arbitrary integral levels, carry unitary metrics of geometric origin which are preserved by the Knizhnik–Zamolodchikov/Hitchin connection (as conjectured by Gawedzki et al., 1991, in [7], ). Our proof builds upon the work of Ramadas (2009) [22] who proved this unitarity statement in the case of the Lie algebra sl2 (and genus 0).

RésuméOn démontre que les fibrés vectoriels des blocs conformes sur les espaces des modules convenables des courbes de genre zéro avec des points marqués, associés à une algèbre de Lie simple arbitraire et un niveau intégral arbitraire, portent des métriques unitaires dʼorigine géomètrique qui sont préservées par la connexion de Knizhnik–Zamolodchikov/Hitchin (comme cela a été conjecturé par Gawedzki et al., 1991, dans [7], ). Notre article sʼappuie sur les résultats de Ramadas (2009) [22] qui a démontré cet énoncé dans le cas de lʼalgèbre de Lie sl2 (et genre zéro).