Regularity of C1C1 and Lipschitz domains in terms of the Beurling transform

Let Ω⊂CΩ⊂C be a bounded C1C1 domain, or a Lipschitz domain “flat enough”, and consider the Beurling transform of χΩχΩ:BχΩ(z)=limε→0−1π∫w∈Ω,|z−w|>ε1(z−w)2dm(w). Using a priori estimates, in this paper we solve the following free boundary problem: if BχΩBχΩ belongs to the Sobolev space Wα,p(Ω)Wα,p(Ω) for 0<α⩽10<α⩽1, 11αp>1, then the outward unit normal N on ∂Ω   is in the Besov space Bp,pα−1/p(∂Ω). The converse statement, proved previously by Cruz and Tolsa, also holds. So we haveB(χΩ)∈Wα,p(Ω)⟺N∈Bp,pα−1/p(∂Ω). Together with recent results by Cruz, Mateu and Orobitg, from the preceding equivalence one infers that the Beurling transform is bounded in Wα,p(Ω)Wα,p(Ω) if and only if the outward unit normal N   belongs to Bp,pα−1/p(∂Ω), assuming that αp>2αp>2.

RésuméSoit Ω⊂CΩ⊂C un domaine C1C1 borné ou un domaine Lipschitz assez plat. On considère la transformée de Beurling de χΩχΩ :BχΩ(z)=limε→0−1π∫w∈Ω,|z−w|>ε1(z−w)2dm(w). En utilisant des estimations a priori, dans cet article on résout le problème suivant de frontière libre : si BχΩBχΩ appartient a lʼespace de Sobolev Wα,p(Ω)Wα,p(Ω) pour 0<α⩽10<α⩽1, 11αp>1, alors le vecteur unitaire normal extérieur N sur ∂Ω   est dans lʼespace de Besov Bp,pα−1/p(∂Ω).Le résultat réciproque a été démontré récemment par Cruz et Tolsa. Nous avons donc queB(χΩ)∈Wα,p(Ω)⟺N∈Bp,pα−1/p(∂Ω). De cette équivalence et de quelques résultats récents de Cruz, Mateu et Orobitg, il résulte que la transformée de Beurling est bornée dans Wα,p(Ω)Wα,p(Ω) si et seulement si le vecteur normal N   appartient à Bp,pα−1/p(∂Ω), en supposant que αp>2αp>2.