Mean-field models for disordered crystals

In this article, we set up a functional setting for mean-field electronic structure models of Hartree–Fock or Kohn–Sham types for disordered quantum systems. In the first part, we establish important properties of stochastic fermionic one-body density matrices, assuming that they are stationary under the ergodic action of a translation group. In particular, we prove Hoffmann-Ostenhof and Lieb–Thirring inequalities for ergodic density matrices, and deduce some weak compactness properties of the set of such matrices. We also discuss the representability problem for the associated one-particle densities. In the second part, we investigate the problem of solving Poissonʼs equation for a given stationary charge distribution, using the Yukawa potential to appropriately define the Coulomb self-interaction in the limit when the Yukawa parameter goes to zero. Finally, in the last part of the article, we use these tools to study a specific mean-field model (reduced Hartree–Fock, rHF) for a disordered crystal where the nuclei are classical particles whose positions and charges are random. We prove the existence of a minimizer of the energy per unit volume and the uniqueness of the ground state density. For (short-range) Yukawa interactions, we prove in addition that the rHF ground state density matrix satisfies a self-consistent equation, and that our model is the thermodynamic limit of the supercell model.

RésuméDans cet article, on construit un cadre fonctionnel pour les modèles de structure électronique de champ moyen de type Hartree–Fock ou Kohn–Sham pour des systèmes quantiques désordonnés. Dans la première partie, on établit quelques propriétés importantes des matrices densité à un corps fermioniques stochastiques, sous une hypothèse de stationarité vis-à-vis de lʼaction ergodique dʼun groupe de translations. En particulier, on démontre des inégalités de Hoffmann-Ostenhof et de Lieb–Thirring pour les matrices densité ergodiques, ainsi que des propriétés de compacité faible de lʼensemble de ces matrices densité. On discute également la question de la représentabilité des densités à un corps associées. Dans la deuxième partie, on étudie le problème de la résolution de lʼéquation de Poisson pour une distribution de charges stationnaire donnée, en définissant lʼénergie de Coulomb comme la limite de lʼénergie de Yukawa lorsque le paramètre de Yukawa tend vers zéro. Enfin, dans la dernière partie de lʼarticle, on utilise ces outils pour étudier un modèle de champ moyen particulier (le modèle de Hartree–Fock réduit, rHF) pour un cristal désordonné dans lequel les noyaux sont modélisés par des particules classiques dont les positions et les charges sont aléatoires. On démontre lʼexistence dʼun minimiseur de lʼénergie par unité de volume et lʼunicité de la densité de lʼétat fondamental. Pour des interactions de Yukawa (à courte portée), on démontre en outre que la matrice densité de lʼétat fondamental vérifie une équation auto-cohérente, et que le modèle proposé est bien la limite thermodynamique du modèle de supercellule.