Uniqueness and stability of saddle-shaped solutions to the Allen–Cahn equation

We establish the uniqueness of a saddle-shaped solution to the diffusion equation −Δu=f(u) in all of R2m, where f is of bistable type, in every even dimension 2m⩾2. In addition, we prove its stability whenever 2m⩾14.Saddle-shaped solutions are odd with respect to the Simons cone C={(x1,x2)∈Rm×Rm:|x1|=|x2|} and exist in all even dimensions. Their uniqueness was only known when 2m=2. On the other hand, they are known to be unstable in dimensions 2, 4, and 6. Their stability in dimensions 8, 10, and 12 remains an open question. In addition, since the Simons cone minimizes area when 2m⩾8, saddle-shaped solutions are expected to be global minimizers when 2m⩾8, or at least in higher dimensions. This is a property stronger than stability which is not yet established in any dimension.

RésuméOn montre lʼunicité dʼune solution du type selle de lʼéquation de diffusion −Δu=f(u) dans tout R2m, où f est une non-linéarité bistable, dans toutes les dimensions paires 2m⩾2. De plus, on montre sa stabilité lorsque 2m⩾14.Les solutions du type selle sont impaires par rapport au cône de Simons C={(x1,x2)∈Rm×Rm:|x1|=|x2|} et elles existent dans toutes les dimensions paires. Leur unicité était connue seulement quand 2m=2. Dʼautre part, il est connu quʼelles sont instables dans les dimensions 2, 4 et 6. Leur stabilité dans les dimensions 8, 10 et 12 reste une question ouverte. En outre, puisque le cône de Simons minimise lʼaire lorsque 2m⩾8, il est attendu que les solutions du type selle soient minimiseurs globaux quand 2m⩾8, ou au moins dans des dimensions supérieures. Ceci est une propriété plus forte que la stabilité qui nʼest pas encore établie pour aucune dimension.