The Fano normal function

The Fano surface F of lines in the cubic threefold V is naturally embedded in the intermediate Jacobian J(V), we call “Fano cycle” the difference F−F−, this is homologous to 0 in J(V). We study the normal function on the moduli space which computes the Abel–Jacobi image of the Fano cycle. By means of the related infinitesimal invariant we can prove that the primitive part of the normal function is not of torsion. As a consequence we get that, for a general V, F−F− is not algebraically equivalent to zero in J(V) (proved also by van der Geer and Kouvidakis (2010) [15] with different methods) and, moreover, that there is no divisor in JV containing both F and F− and such that these surfaces are homologically equivalent in the divisor.Our study of the infinitesimal variation of Hodge structure for V produces intrinsically a threefold Ξ(V) in the Grassmannian of lines G in P4. We show that the infinitesimal invariant at V attached to the normal function gives a section of a natural bundle on Ξ(V) and more specifically that this section vanishes exactly on Ξ∩F, which turns out to be the curve in F parameterizing the “double lines” in the threefold. We prove that this curve reconstructs V and hence we get a Torelli-like result: the infinitesimal invariant for the Fano cycle determines V.

RésuméLa surface de Fano F des droites dʼune hypersurface cubique de dimension trois V est naturellement plongée dans la variété jacobienne intermédiaire J(V), on va appeller « cycle de Fano » la différence F−F−, ce cycle est homologue à 0 dans J(V). On étudie lʼapplication normale, définie sur lʼéspace des modules, qui calcule lʼimage dʼAbel–Jacobi du cycle de Fano. Au moyen de lʼinvariant infinitésimal correspondant on démontre que la partie primitive de lʼapplication normale nʼest pas de torsion. Par conséquent on a que, si V est générale, F−F− nʼest pas algébriquement équivalente à 0 dans J(V) (ce qui a été également démontré par van der Geer et Kouvidakis (2010) [15] avec une méthode différente) ; de plus, dans J(V) il nʼy a aucun diviseur qui contienne F ainsi que F− et tel que que les deux surfaces soient homologiquement équivalentes dans le diviseur même.Notre étude de la variation infinitésimale de la structure de Hodge pour V produit, de façon intrinsèque, une hypersurface de dimension trois, Ξ(V), dans la variété de Grassmann G des droites dans P4. On montre que lʼinvariant infinitésimal en V attaché à lʼapplication normale donne une section du fibré naturel sur Ξ(V) ; plus précisément, cette section sʼannule exactement sur Ξ(V)∩F, ce qui se trouve être la courbe de F qui paramètre les « droites doubles » dans lʼhypersurface cubique de dimension trois. On démontré que cette courbe reconstruit V et on obtient, en conclusion, un théorème de type Torelli : lʼinvariant infinitésimal du cycle de Fano détermine V.