Adaptation in a stochastic multi-resources chemostat model

We are interested in modeling the Darwinian evolution resulting from the interplay of phenotypic variation and natural selection through ecological interactions, in the specific scales of the biological framework of adaptive dynamics. Adaptive dynamics so far has been put on a rigorous footing only for direct competition models (Lotka–Volterra models) involving a competition kernel which describes the competition pressure from one individual to another one. We extend this to a multi-resources chemostat model, where the competition between individuals results from the sharing of several resources which have their own dynamics. Starting from a stochastic birth and death process model, we prove that, when advantageous mutations are rare, the population behaves on the mutational time scale as a jump process moving between equilibrium states (the polymorphic evolution sequence of the adaptive dynamics literature). An essential technical ingredient is the study of the long time behavior of a chemostat multi-resources dynamical system. In the small mutational steps limit this process in turn gives rise to a differential equation in phenotype space called canonical equation of adaptive dynamics. From this canonical equation and still assuming small mutation steps, we prove a rigorous characterization of the evolutionary branching points.

RésuméCet article traite de la modélisation de l'évolution darwinienne, conséquence des variations phénotypiques et de la sélection naturelle résultant des interactions écologiques, dans les échelles spécifiques de la théorie biologique de la dynamique adaptative. Les fondements mathématiques de cette théorie n'ont encore été établis que pour des modèles avec compétition directe (de type Lotka–Volterra) caractérisée par un noyau décrivant les pressions compétitives exercées par un individu sur un autre. Nous étendons ces résultats à des modèles de chémostat multi-ressources, où la compétition entre individus résulte du partage de plusieurs ressources communes soumises à leurs propres dynamiques. A partir d'un processus stochastique de naissance et de mort en dimension infinie, nous montrons que, lorsque les mutations avantageuses sont rares, la population se comporte sur l'échelle de temps des mutations comme un processus de saut entre états d'équilibre de la dynamique écologique (appelé polymorphic evolution sequence en dynamique adaptative). L'étude du comportement en temps long de systèmes déterministes de chémostat à plusieurs ressources est un ingrédient technique crucial. Nous montrons ensuite que, dans la limite des petites mutations, ce processus converge vers une équation différentielle ordinaire dans l'espace des phénotypes appelée équation canonique de la dynamique adaptative. A partir de cette équation et dans la même asymptotique, on obtient finalement un critère explicite caractérisant les points de l'espace des phénotypes où le phénomène de branchement évolutif se produit.