Classical solutions for a logarithmic fractional diffusion equation

We prove global existence and uniqueness of strong solutions to the logarithmic porous medium type equation with fractional diffusionequation(1)∂tu+(−Δ)1/2log(1+u)=0,∂tu+(−Δ)1/2log(1+u)=0, posed for x∈Rx∈R, with nonnegative initial data in some function space of LlogL type. The solutions are shown to become bounded and C∞C∞ smooth in (x,t)(x,t) for all positive times. We also reformulate this equation as a transport equation with nonlocal velocity and critical viscosity, a topic of current relevance. Interesting functional inequalities are involved.

RésuméOn démontre l'existence globale et l'unicité des solutions fortes de l'équation de type milieu poreux logarithmique avec diffusion fractionnaire (1), posée pour x∈Rx∈R, avec des données initiales non négatives dans un espace de fonctions de type LlogL. On démontre que toutes ces solutions deviennent bornées et C∞C∞ en (x,t)(x,t) pour tous les temps positifs. On reformule également cette équation comme une équation de transport avec une vitesse non locale et viscosité critique, un sujet d'actualité. On utilise des inégalités fonctionnelles intéressantes.