Asymptotic expansion for nonlinear eigenvalue problems

In this paper we consider generalized eigenvalue problems for a family of operators with a quadratic dependence on a complex parameter. Our model is L(λ)=−△+(P2(x)−λ) in L2(Rd) where P is a positive elliptic polynomial in Rd of degree m⩾2. It is known that for d even, or d=1, or d=3 and m⩾6, there exist λ∈C and u∈L2(Rd), u≠0, such that L(λ)u=0. In this paper, we give a method to prove existence of non-trivial solutions for the equation L(λ)u=0, valid in every dimension d⩾1. This is a partial answer to a conjecture in Helffer, Robert and Xue Ping Wang (2004) [13].

RésuméDans cet article nous considérons un problème aux valeurs propres généralisé pour une famille d'opérateurs dépendant quadratiquement d'un paramètre complexe. Le modèle étudié concerne la famille L(λ)=−△+(P2(x)−λ) dans L2(Rd) où P un polynôme elliptique dans Rd de degré m⩾2. Si d est paire ou si d=1 ou d=3 et m⩾6, on sait alors qu'il existe λ∈C et u∈L2(Rd), u≠0, tels que L(λ)u=0. L'objet principal de cet article est de donner une méthode pour démontrer l'existence de solutions non triviales pour l'équation L(λ)u=0 pour toute dimension d⩾1. On répond ainsi partiellement à une conjecture formulée dans Helffer, Robert et Xue Ping Wang (2004) [13].