Approximate Lagrangian controllability for the 2-D Euler equation. Application to the control of the shape of vortex patches

In this paper, we consider the two-dimensional Euler equation in a bounded domain Ω, with a boundary control located on an arbitrary part of the boundary. We prove that, given two Jordan curves which are homotopic in Ω and which surround the same area, given an initial data and a positive time T, one can find a control such that the corresponding solution drives the first curve inside Ω arbitrarily close to the second one (in any Ck norm) at time T. We also prove that given two vortex patches satisfying the same conditions on their contour, one can approximately deform the first one into the second one.

RésuméDans cet article, nous considérons l'équation d'Euler des fluides parfaits incompressibles dans un domaine borné bidimensionnel, avec un contrôle frontière localisé sur une partie arbitraire du bord. Nous montrons qu'étant données deux courbes de Jordan homotopes et encerclant la même aire, une donnée initiale et un temps T strictement positif, on peut trouver un contrôle tel que la solution correspondante de l'équation d'Euler amène la première courbe vers la seconde de manière arbitrairement proche (en toute norme Ck) au temps T. Nous montrons également que sous la même condition sur les contours, on peut déformer de manière approchée une poche de tourbillon sur une autre dans le domaine.